O que são Filtros FIR?
Os Filtros de Resposta ao Impulso Finita, ou FIR (do inglês Finite Impulse Response), são uma classe de filtros digitais amplamente utilizados em processamento de sinais. Ao contrário dos Filtros de Resposta ao Impulso Infinita (IIR), os FIR têm uma resposta ao impulso de duração finita, o que os torna mais simples de entender e implementar.
Os filtros FIR são frequentemente utilizados em uma variedade de aplicações, como processamento de áudio, comunicação digital e processamento de imagens. Sua característica finita permite uma análise mais fácil de seu comportamento e uma implementação mais robusta em muitas situações.
Estrutura Básica dos Filtros FIR
A estrutura básica de um filtro FIR consiste em uma soma ponderada de amostras de entrada, cada uma multiplicada por um coeficiente específico. Matematicamente, a saída $y[n]$ de um filtro FIR pode ser expressa como a soma ponderada das amostras de entrada $x[n]$ e seus coeficientes associados $h[k]$:
\[ y[n] = \sum_{k=0}^{N-1} h[k] \cdot x[n-k] \]
Onde:
- $N$ é a ordem do filtro (o número total de coeficientes),
- $x[n]$ é a amostra de entrada no instante $n$,
- $h[k]$ são os coeficientes do filtro.
Exemplo de Cálculo de Coeficientes FIR
Para entender melhor como os coeficientes de um filtro FIR são calculados, consideremos um exemplo prático. Vamos projetar um filtro passa-baixa com uma frequência de corte normalizada de 0,2 em um sistema com frequência de amostragem normalizada de 1.
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Determine a ordem do filtro (N): A ordem do filtro depende da complexidade desejada. Para este exemplo, escolheremos uma ordem $N = 15$.
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Calcule a frequência de corte digital (wc): A frequência de corte digital é obtida multiplicando a frequência de corte desejada pela frequência de amostragem. Portanto, $wc = 0,2 \times 1 = 0,2$.
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Calcule os coeficientes (h[k]): Utilizaremos a fórmula para um filtro passa-baixa ideal:
$ h[k] = \frac{\sin(\pi \cdot k \cdot wc)}{\pi \cdot k} $
Para $k = 0$, temos que $h[0] = 2 \cdot wc$. Para $k$ diferente de zero, aplicamos a fórmula.
Vamos calcular os coeficientes para $k = 1$ até $N-1 = 14$.
$ h[k] = \frac{\sin(\pi \cdot k \cdot 0,2)}{\pi \cdot k} $
Portanto, os coeficientes seriam: \[ h[0] = 0,4 \] \[ h[k] = \frac{\sin(\pi \cdot k \cdot 0,2)}{\pi \cdot k} \quad \text{para } k = 1 \text{ até } 14 \]
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Normalização dos Coeficientes: É comum normalizar os coeficientes de modo que a soma dos quadrados seja igual a 1.
\[h[k]_{\text{normalizado}} = \frac{h[k]}{\sqrt{\sum_{k=0}^{N-1} h[k]^2}}\]Isso garante que a amplitude do sinal não seja afetada durante o processo de filtragem.
Os filtros FIR são uma ferramenta poderosa no processamento de sinais digitais. Com uma compreensão básica de sua estrutura e uma abordagem prática para calcular os coeficientes, é possível projetar filtros personalizados para atender às necessidades específicas de uma aplicação. Experimentar com diferentes ordens e frequências de corte permite ajustar o desempenho do filtro de acordo com os requisitos do sistema.