Quadrix - 2024 - CRQ - 12ª Região (GO, TO e DF) - Agente Fiscal - 2024
Bárbara é proprietária de uma coleção de pedras preciosas, composta de 5 rubis e de 5 esmeraldas, sendo cada uma única e distintiva. Recentemente, Bárbara adquiriu um elegante porta‑joias com 10 compartimentos dispostos em fileira para exibir suas preciosidades. Bárbara, então, pretende alocar uma joia em cada espaço. Com base nessa situação hipotética, julgue o item.Se Bárbara decidir alocar suas joias de forma aleatória, a probabilidade de que todos os rubis fiquem juntos é de 1 em 42.
Certo
Errado
Solução
Fileiras nesta questão refere-se a compartimentos dispostos lado-a-lado em linha reta, dessa forma, se as jóias forem dispostas aleatoriamente a questão afirma a probabilidade igual a $1 \over 42$ dos rubis estarem lado-a-lado, ou seja, juntos.
Primeiramente vamos calcular o número de possibilidades de disposição das jóias nos 10 compartimentos para fins didáticos. Como todas as 10 jóias são utilizadas nos 10 compartimentos e há elemento repetidos esse é um caso de Permutação com elementos repetidos, cuja fórmula é
\[P_{n}^{k,j} = {n! \over k!j!}\]Sendo n = 10, k = 5 e j = 5, então
\[P_{10}^{5,5} = {10! \over 5!5!} = 252\]Para saber o número de possibilidades de se agrupar os 5 rubis em 10 compartimentos podemos pensar nos 5 rubis como uma unidade só como um bloco. Se considerarmos o inicio do bloco fica fácil contar as possibilidades ao colocar o bloco nos compartimentos 1,2,3,4,5 ou 6, logo são no total 6 possibilidades de disposição, logo a probabilidade dos rubis estarem juntos será
\[P = {6 \over 252} = {1 \over 42}\]A afirmação está Certa.
Quadrix - 2012 - CREFONO-4ª Região - Fiscal - 2012
Numa urna estão 100 (cem) bolinhas numeradas de 1 a 100. Retiram-se 2 delas, sem reposição. A probabilidade de que a soma das 2 bolinhas tiradas seja 100 é de:A) 1/200
B) 32/4501
C) 32/99
D) 49/4950
E) 49/99
Solução
Questão clássica de urnas e bolinhas numeradas. Retirar duas bolinhas sem reposição é um caso de combinação $C(100,2)$,
\[C(n,k) = C(100,2) = {n! \over k!(m-k)!} = {100! \over 2!(100-2)!} = 4950\]Dessa forma serão 4950 possibilidades de se retirar 2 bolinhas quaisquer sem qualquer distinção.
Precisamos saber então quais os casos em que dois números até 100 somam 100. A bolinha de numero 100 com outra qualquer somam mais de 100, logo a descartamos. A bolinha 50, se retirada, não terá outra bolinha 50 para somarem 100, logo a descartamos também. Todas as outras bolinhas tem um par que juntas somam 100, logo os números incluidos são [1,49] e [51,99].
O primeiro evento terá sucesso se uma bolinha desse intervalo for retirado logo
\[P_{1° Evento A} = {98 \over 100}\]O segundo evento terá sucesso novamente se uma bolinha que some 100 com a primeira for retirada logo
\[P_{2° Evento B} = {1 \over 99}\]O que é pedido é a probabilidade da intersecção de dois eventos sucessivos cuja fórmula é
\[P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) = P(A|B) \times P(B)\]$P(B|A)$ é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu, isso demonstra que o 1° evento é independente, porém o 2° evento é dependente do 1°. Substituindo os valores temos:
\[P(A \cap B) = {1 \over 99} \times {98 \over 100} = {98 \over 9900} = {49 \over 4950}\]Alternativa D.
Quadrix - 2023 - CRM - MG - Estatístico - 2023
Gael possui três moedas distintas: a primeira tem duas caras; a segunda tem uma cara e uma coroa; e a terceira tem duas coroas. Uma dessas moedas foi escolhida aleatoriamente e lançada, resultando em cara. Com base nessa situação hipotética, a probabilidade de que o outro lado dessa moeda também seja cara é deA) 1/4
B) 1/3
C) 1/2
D) 2/3
E) 3/4
Solução
Para auxiliar é útil montar a árvore de probabilidade, como são eventos equiprováveis as probabilidades estão expressas em cima de cada evento, veja que o evento valor da face da moeda é posterior a escolha da moeda por isso cada face tem probabilidade ${1 \over 3}\times {1\over2} = {1\over6}$.
1/3 1/6 (1/3 * 1/2)
-> Cara
-> Primeira Moeda M1
-> Cara
-> Cara
-> Segunda Moeda M2
-> Coroa
-> Coroa
-> Terceira Moeda M3
-> Coroa
A questão pede $P(M1|\text{”Cara”})$, ou seja, a probabilidade da Primeira Moeda ocorrer dado que um Cara aconteceu. Resolvemos a questão aplicando o Teorema de Bayes
\[P(M1|\text{”Cara”}) = {P(\text{”Cara”}|M1)P(M1) \over P(\text{”Cara”})}\]Antes precisamos calcular os valores a priori:
$P(M1) = {1 \over 3}$
$P(\text{“Cara”})=P(\text{“Cara”}∣M1)P(M1)+P(\text{“Cara”}∣M2)P(M2)+P(\text{“Cara”}∣M3)P(M3) =$
$= {1 \over 3} + {1 \over 6} + 0 = {1 \over 2}$
\[P(\text{”Cara”}|M1) = 1\]Calculando,
\[P(M1|\text{”Cara”}) = { 1 \times {1 \over 3} \over {1 \over 2} } = {2 \over 3}\]Alternativa D.
Quadrix - 2022 - CRP - 11ª Região (CE) - Assistente Administrativo - 2022
As irmãs Bianca e Sofia estão jogando um jogo de cartas com um baralho que possui dez cartas, no total. Conforme as regras desse jogo, deve-se tirar três cartas desse baralho, memorizá-las e devolvê-las ao baralho, embaralhando-o. Em seguida, deve-se escolher três novas cartas e anotar o número de cartas que vierem repetidas nesse grupo. Então, embaralha-se novamente o baralho, e a outra irmã repete o mesmo processo. Quem tiver mais cartas repetidas vence o jogo. Se as duas irmãs tirarem o mesmo número de cartas repetidas, o jogo termina empatado.Com base nessa situação hipotética, julgue o item.
A chance de se tirar exatamente uma carta repetida é menor que 50%.
Certo
Errado
Solução
Questão que envolve interpretar bem o texto para não se perder. O jogo é feito em 4 rodadas onde as duas primeiras a mesma pessoa retira na primeira rodada 3 cartas, memoriza e devolve as cartas ao baralho e faz outra retirada anotando as cartas repetidas.
Há $C(10,3) = 120$ combinações possíveis de se retirar 3 cartas de um baralho com 10 o que dá uma probabilidade de cada jogo de $1 \over 120$, porém a questão não pergunta isso, ela pergunta qual a chance de somente UMA carta seja repetida no segundo jogo.
A carta repetida pode ser qualquer uma das 3 primeiras, restando duas não repetidas que tem $C(7,2) = 21$ combinações possíveis e como são 3 cartas para cada dessas 21 combinações obtem-se, então, no total $21 \times 3 = 63$ combinações de jogos com apenas uma carta repetida.
Logo a probabilidade é $P = {63 \over 120} = 52,5%$, dessa forma a afirmação está Errada.
Quadrix - 2021 - CRESS-PB - Agente Fiscal - 2021
Em um grupo de amigos, 10 assistem a jogos de futebol, 6 assistem a jogos de tênis e 7 assistem a jogos de basquete. Há 3 amigos que assistem aos jogos de futebol e de tênis, 5 que assistem aos jogos de futebol e de basquete e 2 que assistem aos jogos de basquete e de tênis. Todos do grupo assistem a jogos de pelo menos 1 desses esportes, mas apenas 1 dos amigos acompanha todos os 3.Com base nesse caso hipotético, julgue o item.
Selecionando-se um subgrupo de 3 desses amigos aleatoriamente, a probabilidade de ao menos 1 gostar de tênis é de 11/13 .
Certo
Errado
Solução
Essa é uma ótima oportunidade para se aplicar o princípio da inclusão-exclusão para determinar a quantidade dos amigos:
$n(A\cup B\cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$
Substituindo,
$n(F\cup T\cup B) = 10 + 6 + 7 - 3 - 2 - 5 + 1 = 14$
Antes é preciso resolver os conjuntos das preferências utilizando o diagrama de Venn ilustrado na figura abaixo:
Dessa forma, no total são 14 amigos. Se 3 amigos são selecionados de 14, então serão $C(14,3) = 364$ combinações diferentes.
Uma forma rápida de calcular a probabilidade é descobrir a razão dos que não assistem tênis e achar então através de $1-P$ a razão desejada, dessa forma
\[C(8,3) = 56 \rightarrow P = 1- {56\over364} = {11\over13}\]Portanto a afirmação está Certa.
Quadrix - 2022 - Câmara de Goianésia - GO - Auxiliar Administrativo Legislativo - 2022
Sendo A e B eventos independentes, se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,3, então P( A ∪ B ) é igual aA) 0,46
B) 0,52
C) 0,58
D) 0,64
E) 0,70
Solução
A união de eventos independentes é calculado pela fórmula:
\[P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)\]O enunciado diz que os eventos são independentes, basta então aplicar a fórmula e obter o valor:
\[P(A\cup B) = 0,4 + 0,3 - 0,4\times 0,3 = 0,58\]Alternativa C.
Quadrix - 2023 - CAU-TO - Agente de Fiscalização
Anderson adotou quatro tartarugas e as batizou de Leonardo, Donatello, Michelangelo e Raphael. Para diferenciá-las, ele decidiu colocar uma faixa colorida em cada uma delas: uma faixa azul em Leonardo; uma faixa roxa em Donatello; uma faixa laranja em Michelangelo; e uma faixa vermelha em Raphael. No entanto, no dia seguinte, as faixas haviam caído e Anderson não conseguia determinar qual tartaruga correspondia a cada faixa. Ele resolveu, então, colocar as faixas novamente, mas agora não tem certeza de as ter colocado nas tartarugas corretas. Com base nessa situação hipotética, julgue o item.A probabilidade de Anderson ter acertado a faixa de apenas uma tartaruga é de 1/3 .
Certo
Errado
Solução
Como todos as faixas são usadas e a ordem importa o conjunto universo das atribuições das faixas é obtido calculando as Permutações cuja fórmula é somente o Fatorial da quantidade de elementos, ou seja, 4 faixas.
\[n(U) = 4! = 24\]então a probabilidade de acertar todas as faixas é de $P = {1 \over 24}$, porém a questão pede a probabilidade de acertar apenas uma faixa, neste caso fixando-se uma faixa correta há 4 casos como este. Essa é uma boa hora para introduzir a Permutação Caótica ou Desarranjo; método para calcular o número de permutações em que os elementos estão fora da posição original. Fixando 1 faixa é necessário saber quantas combinações não tem nenhum faixa correta. A fórmula do desarranjo é dada por:
\[!n = n! \sum {(-1)^k \over k!}, \text{onde k = 0 até n}\]Como uma fita foi fixada, o desarranjo é calculado para as 3 fitas restantes, assim
\[!3 = 3! ( 1 - {1 \over 1!} + {1 \over 2!} - {1 \over 3!}) = 2\]Na prática alterna-se os sinais das frações com um fatorial incremental no denominador.
Outra forma é fazer manualmente a contagem
- A B C D ( Todas corretas )
- A B D C
- A C B D
- A C D B (1 Correta)
- A D B C (1 Correta)
- A D C B
Logo são 2 casos de sucesso para cada fita, consequentemente serão $4 \times 2 = 8$ união de eventos, o que resulta em
\[P(\text{’1 fita certa’}) = {8 \over 24} = {1 \over 3}\]Portanto a afirmação da questão está Certa.
Quadrix - 2022 - SEDF - Professor de Educação Básica - Matemática - Edital nº 31
Vinícius afirmou que leva de 15 a 20 minutos para sair de sua casa e chegar à casa de Pedro, seu amigo, andando em linha reta a uma velocidade de 1 m/s. Isso fez Pedro refletir sobre a área em que a casa de Vinícius pode estar localizada. Com base nessa situação hipotética, julgue o item.Considerando-se que a probabilidade de Vinícius morar em qualquer ponto dessa área seja idêntica, então a probabilidade de ele morar a exatamente 15 minutos da casa de Pedro é igual a 3/5 da probabilidade de ele morar a exatamente 20 minutos da casa deste amigo, caso faça o percurso andando.
Certo
Errado
Solução
Questão com um texto que pode confundir na primeira leitura. Vinícius vai em linha reta a 1m/s a casa de Pedro. Vinícius então está entre
\[1_{m \over s} \times 15_{M} \times 60_{s} = 900_{m}\]E
\[1_{m \over s} \times 20_{M} \times 60_{s} = 1200_{m}\]ou seja, a casa de Vinícius está contida em uma linha com $1200 - 900 = 300$ metros de comprimento a partir de 900m da casa de Pedro.
A questão informa que “Considerando-se que a probabilidade de Vinícius morar em qualquer ponto dessa área seja idêntica” então a probabilidade da casa de Vinícius estar em qualquer ponto desses 300 metros é de ${1 \over 300}$.
A afirmação ”então a probabilidade de ele morar a exatamente 15 minutos da casa de Pedro é igual a 3/5 da probabilidade de ele morar a exatamente 20 minutos da casa deste amigo…” está incorreta, porque a probabilidade de ele morar a exatamente 15 minutos é igual probabilidade dele morar exatamente a 20 minutos como dito acima.
Portanto a afirmação está Errada.
Quadrix - 2022 - SEDF - Professor de Educação Básica - Matemática - Edital nº 31
Chama-se sequência de Narayana a sequência infinita dada pela seguinte fórmula de recorrência: $G_1 = G_2 = G_3 = 1, G_4 = 2 \text{ e } G_n = G_{n-1} + G_{n-3}, \forall n \in \mathbb{N} \text{ e } n \geqslant 5$ Com base nessas informações, julgue o item.Selecionando-se um dos dez termos iniciais da sequência de Narayana ao acaso, a probabilidade de ele ser par é de 30%.
Certo
Errado
Solução
Questões para professores costumam cobrar entendimento da notação matemática e leitura.
Seguindo a notação da sequência, os 10 primeiros valores da sequência dada serão:
\[N_{10} = (1,1,1,2,2+1=3,3+1=4,4+2=6,6+3=9,9+4=13,13+6=19)\] \[N_{10} = (1,1,1,2,3,4,6,9,13,19)\]Como se observa há 3 números pares $(2,4,6)$, logo a probabilidade de selecionar um número par da sequência será igual a $P(Par) = 3\times{1 \over 10} = 30\%$
Portanto a afirmação está Certa.
Quadrix - 2019 - CRO-GO - Fiscal Regional
Em uma pesquisa, 70% dos 200 entrevistados são mulheres. 2/5 das mulheres não sabem cozinhar e 1/3 dos homens é casado. Com base nessa situação hipotética, julgue o item.Se, entre os entrevistados, há 24 homens que sabem cozinhar, então mais de 51% dos entrevistados sabe cozinhar.
Certo
Errado
Solução
Preenchendo a tabela para treinar e auxiliar na resolução:
| Mulheres | Homens |
| $200 \times {7 \over 10} = 140$ 140 |
$200-140 = 60$ 60 |
| Mulheres sabem cozinhar | Homens sabem cozinhar |
| $140 - (140 \times {2 \over 5}) = 84$ 84 |
24 |
| Mulheres casadas | Homens casados |
| ? | $60 \times {1 \over 3} = 20$ 20 |
Dessa forma $24 + 84 = 108$ pessoas sabem cozinhar; calculando a porcentagem
\[{200 \over 108} - {100\% \over x\%}\]obtem-se 54% das pessoas na entrevista sabem cozinhar, portanto a afirmação está Certa.